Kolokwium z Teorii gier (gry dwuosobowe o sumie zerowej)
21 marca 2001

1. Dana jest następująca gra z udziałem Policjanta i Złodzieja:
   • Złodziej może ukraść lub nie ukraść. Jeśli nie ukradnie, jego wypłata wynosi 0, a wypłata Policjanta 5
   • Jeśli złodziej ukradnie, Policjant może go gonić, lub nie przerywać odpoczynku. Jeśli policjant zrezygnuje z pościgu, wypłata Złodzieja wynosi 10, wypłata Policjanta wynosi -5
   • Jeśli Policjant podejmie pościg, to złapie Złodzieja. W takiej sytuacji Złodziej może zaproponować łapówkę lub nie proponować łapówki. Jeśli propozycja łapówki nie padnie, to wypłata Złodzieja wynosi -10, a wypłata policjanta wynosi 10.
   • Jeśli propozycja łapówki padnie, Policjant może ją przyjąć lub odrzucić. Jeśli przyjmie łapówkę, jego wypłata wynosi 15-s (gdzie s oznacza koszt wyrzutów sumienia), zaś wypłata Złodzieja wynosi -5. Jeśli łapówkę odrzuci, wypłata Policjanta wynosi 12, a wypłata złodzieja -15.
   Przyjmijmy, że Policjant jest uczciwym policjantem i jego s wynosi co najmniej 5 (a złodziej o tym wie).
   1. Przedstaw grę w postaci drzewa gry, podaj i uzasadnij jej rozwiązanie.
   2. Przedstaw grę w postaci macierzowej i zaznacz (i) wszystkie strategie zdominowane, (ii) strategie zdominowane ze względu na dominację wyższego rzędu
   3. Co to jest gra o pełnej informacji?

2. Rozwiąż (znajdź równowagę i wartość) następującą grę:

   		Kolumna
   		A	B
   	A	4	10
   Wiersz	B	8	0

3. Dla gry

   		Kolumna
   		A	B
   	A	r	s
   Wiersz	B	t	u

   dysponujemy następującymi informacjami o preferencjach kardynalnych graczy:

   • Wiersz przedkłada t nad s, s nad r i r nad u
   • Wiersz jest indyferentny pomiędzy s i loterią 2/3t, 1/3r
   • Wiersz jest indyferentny pomiędzy r i loterią 1/2s, 1/2u
   • Preferencje Kolumny są przeciwne do preferencji Wiersza (gra jest grą o sumie zerowej)
   1. Jak gracze powinni rozgrywać grę?
   2. Gdyby Wiersz mógł wybierać pomiędzy s na pewno i rozgrywaniem powyższej gry, to co by wybrał? Dlaczego?

Kolokwium z Teorii gier (dwuosobowe gry o sumie niezerowej)
9 maja 2001

1. Dana jest następująca gra :

   		Kolumna
   		A	B	C
   	A	(0,4)	(0,4)	(2,7)
   Pan Wiersz	B	(5,5)	(4,5)	(1,3)
   	C	(4,7)	(1,10)	(1,3)

   1. Znajdź wszystkie równowagi Nasha w strategiach czystych.
   2. Wskaż wszystkie paretooptymalne wyniki gry.
   3. Czy gra jest grą rozwiązywalną w ścisłym sensie? Odpowiedź uzasadnij.
   4. Wskaż dla tej gry rozwiązanie w poziomach bezpieczeństwa (dla uproszczenia: jest ono w strategiach mieszanych, uwzględniających dla Wiersza strategie A i B, a dla Kolumny B i C). Czy jest ono równowagą Nasha (dla uproszczenia - sprawdź co się stanie, jeśli w odpowiedzi na bezpieczną strategię Kolumny Wiersz zagra B)? Czy jest ono optymalne w sensie Pareto? Odpowiedzi uzasadnij.

2. Czy wynik, będący wynikiem zagrania przez jednego z graczy strategii zdominowanej może być wynikiem optymalnym w sensie Pareto? Odpowiedź (krótko) uzasadnij wyjaśniając i porównując pojęcia optymalności Pareto oraz dominacji

3. Panowie A i B mają podzielić pomiędzy siebie kwotę 100 PLN. Wiadomo, że:
   • użyteczność wypłaty x złotych dla pana A wyraża się wzorem U(x)=2x+10
   • użyteczność wypłaty y złotych dla pana B wyrażą się wzorem U(y)=y+5
   • jeżeli panowie A i B nie uzgodnią podziału, pan A dostanie 10 zł, a pan B nie dostanie nic.

   Jaki powinien być podział kwoty 100 PLN pomiędzy panów A i B, jeżeli do podziału zastosować schemat arbitrażowy Nasha?

Kolokwium (gry wielosobowe) i egzamin z Teorii Gier
czerwiec 2001

		Kolumna
		X	Y	Z	S
	A	4	-3	2	-4
	B	4	-4	4	-2
Wiersz	C	0	1	-3	2
	D	-5	2	-7	2
	E	3	-2	2	-2

E2. Które z poniższych gier są równoważna grze o sumie zerowej? Odpowiedź uzasadnij.

a)		Kolumna
		X	Y
Wiersz	A	4, 5	-3, -2
	B	4,5	-4,-3

b)		Kolumna
		X	Y
Wiersz	A	4,2	-3, 16
	B	4,2	-4, 18

c)		Kolumna
		X	Y
Wiersz	A	4, 3	-3, 17
	B	4,4	-4,18

E3. Znajdź wszystkie równowagi Nasha (w strategiach czystych i mieszanych) w następującej grze:

		Kolumna
		Z	X	Y
	C	1, 0	4, 6	1, 8
Wiersz	A	2, 8	0, 2	0, 2
	B	1, 0	5, 2	4, 4

EK4

1. Przedstaw następującą sytuację jako grę w postaci funkcji charakterystycznej: Andrzej, Beata, i Czesław chcą kupić po jednym komputerze. Komputer kosztuje 1800$, ale przy jednoczesnym zakupie większej ich liczby można uzyskać upust: dwa komputery można kupić za 3400$, a trzy za 4800$. Jeśli wszystkie osoby kupujące razem komputery są nauczycielami, uzyskają dodatkowy rabat po 100$ na komputerze (taki rabat dostaje także nauczyciel kupujący samodzielnie). Andrzej i Czesław są nauczycielami. [Podpowiedź: przyjmijmy za wartość koalicji kwotę, jaką może ona zaoszczędzić w porównaniu do sytuacji, gdy jej członkowie robią zakupy oddzielnie]

2. Wskaż przynajmniej trzy imputacje należące do rdzenia powyższej gry. [Podpowiedź: sytuację, w której wszyscy troje kupili komputery razem, przy czym Andrzej do wspólnej kasy włożył1300$, Beata 1800$ a Czesław 1700$ odpowiada imputacji (400, 0, 0), gdyż Andrzej za komputer zapłacił o 400$ mniej, niż gdyby kupował go samodzielnie, zaś Beata i Czesław nie oszczędzają, ani nie dopłacają nic w stosunku do sytuacji, gdyby komputery skupowali sami]

EK5. Co to jest "zbiór stabilny" gry? Wskaż przynajmniej jeden zbiór stabilny gry: